世界一簡単な円周率が3.1以上である証明！！

どうも！！

しょーなんです！！

今回は円周率が3.1以上であることの証明をしたいと思います！！

内容としては高校一年生レベルの知識でできる簡単な内容で、計算もそれほど複雑ではないです。

専門的な知識がいらないこと、それから計算が簡単である事からおそらくこのやり方が1番簡単な円周率が3.1以上であることの証明だと思います！

円周率の問題が大学入試に出る事がありますが、3.1よりも大きい数になってくるとペンと紙を使って人力で限られた時間でやるのが難しくなってくるので、3.1以上であることの証明さえ覚えておけば大学入試とかでは問題ないと思います！！

もし、大学入試で例えば3.12以上とか3.1より大きい数で証明が求められたらこのブログのコメントで文句言ってください。

全力で謝罪させていただきます笑笑

それでは内容に入ります！！

今回の証明の方針としては、半径を1とする円と、その円に内接する正二十四角形を使います！

半径が1の円の面積は

1×1×π=π

円に内接する(円の淵に沿って円の中にある)正二十四角形なので、正二十四角形の面積 Sは円の面積より小さい、

つまり、

正二十四角形の面積 S < π

となります！

なので、3.1<Sが証明できれば、

3.1< S < π が成り立つので、

3.1<πが証明できます！

言葉にすると、

円の半径が1の時、円に内接する正二十四角形の面積が3.1以上であると証明できれば、3.1 < π が証明できます！！

それでは証明に入ります！！

これが半径が1の円と内接する正二十四角形のイメージになります！！

二十四角形ともなるとかなり円に近くなってきますね笑

正二十四角形の面積を求めるにあたって、2辺が1(円の半径が1であるため)

その間の角が15°(15°×24=360°［円を24分割すると角度は15°になる。)

この二等辺三角形が24個並んでると考え、この二等辺三角形の面積を先ずは求めます！

イメージとしては上の写真のような感じで、その三角形の面積を求めた後に24倍したものがこの二十四角形の面積になります！！

それでは計算に入ります！

二辺とその間の角が分かっていれば、sinを使って面積が求まります！

これは高校一年生ぐらいの内容ですね。

三角形の面積=1/2×b×c×sinA

って奴ですね！

忘れている方も多いと思われますので、載せておきます！

覚えてる方はすっ飛ばしちゃって大丈夫です笑

早い話が底辺×高さ÷2の応用ですね！

1辺の長さとその辺の角が分かっていれば、高さが分かるので、その角も挟むもう一辺の長さが分かれば底辺×高さ÷2ができます！！

高さをsinA×cと表した場合、底辺はbとなるので、

三角形の面積はsinA×c×b×1/2

即ち、1/2×b×c×sinAとなります！

sinってなんだっけ？って人は、二辺の長さとその間の角の大きさが分かれば三角形の形が分かるので、三平方の定理

の応用で面積が求まるんだということが分かって貰えれば大丈夫です！！

それでは本題に戻します。

二辺の長さが1(半径が1なので)間の角が15°(15×24=360)なので、先程の公式を使うと、

三角形の面積=1/2×b×c×sinA

= 1/2×1×1×sin15°となります！

直角三角形は30°、60°、90°や45°、45°、90°の三角形が有名ですが、15°、75°、90°の直角三角形も覚えておくと便利ですので覚えちゃいましょう！

15°、75°、90°の三角形の比はこうなります！！

覚えてなくとも計算で求まりますが、覚えておくと便利です笑

一応求め方を出すと、高校2年生の範囲になってしまうのですが一番わかりやすいのだと加法定理を使ってsin15°=cos75°=cos[45°+30°]

計算に戻しますと、

三角形の面積

=1/2×b×c×sinA

=1/2×1×1×sin15°

=1/2×1×1×(√6-√2)×1/4

=(√6-√2)×1/8となります！！

この二等辺三角形が24個並んだものが今回の正二十四角形であるため、

この二十四角形の面積は、

24×1/8×(√6-√2)

=3×(√6-√2)

となります！！

つまり、

3.1<3×(√6-√2)が証明できれば、

3.1<3×(√6-√2)< π

となり、(円に内接する図形のため面積は円の面積πより必ず小さくなる)

3.1< π が証明できます！！

後は

3.1<3×(√6-√2)を証明するだけ！！

3.1<3×(√6-√2)

両辺を3で割る

1.03333333…< √6 - √2

これが成り立てば3.1< π が証明できます！！

√6 > 2.449

√2<1.415

なので、

√6-√2 >2.449-1.415= 1.034 > 1.0333333…

が成り立ちます！！！

1.03333…<√6-√2

が確定したので、

×3をして

3.1<3×(√6-√2)< π

が成り立ち、

3.1 < π が証明できました！！！

ここまでお付き合い頂きありがとうございます！！！

しょーなんでした！！！

分からないことがあればtwitterかコメントで聞いてください笑

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